Álgebra

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números.

 

1 EXPRESIÓN ALGEBRAICA	Ejemplos
Es una combinación de números y letras relacionados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división y a veces también por medio de potencias, radicación, exponenciación y logaritmación.	1. (5x – 10)2 2.  3. xy + 4x2yz – 4z3

2 TÉRMINO	Ejemplos
El término es la unidad fundamental operativa en álgebra. Se separan por medio de suma y resta. El término contiene multiplicaciones y divisiones.	a) . 7x b).   c) .

5 MULTINOMIO (Más de un término)  Monomio (1 término)Binomio (2 términos)Trinomio(3 términos)Según el número de términos que posee una expresión algebraica se denomina MONOMIO, BINOMIO, TRINOMIO Y MULTINOMIO.5x  

xyz³  
  

2x + 3y  a² – 2b²
 + 5  
8 + y
3x + 5y – 7   a + b – c  
+ 2x – 5   
27 + x – y 
IMPORTANTE: Los términos se separan por los signos + y/o – 

6 POLINOMIOS
Los polinomios están formados por términos cuyos coeficientes literales contienen exclusivamente exponentes enteros positivos.
Forma general de un polinomio de una variable (P(x))  P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ....... anxn1) a0 , a1 , a2 , a3 , ....... an (constante x IR) 2) n (exponente)  IN  {0}.
Ejemplos de polinomios y no polinomios.
	Son polinomios	No son polinomios
	a) x2 + 2x – 1  b) x + 3 c) x3 – 2x + 1  Presencia de exponentes enteros positivos	a)  + 2x – 1 b)  + 5 c) + 1Presencia de exponentes fraccionarios.

7 PARÉNTESIS PARA AGRUPAMIENTO DE EXPRESIONES.	Tipos	Simbología	Ejemplos
	Redondo Corchete Llaves	( ) [ ] { }	– (3x – 1) [2x – 1] {5x – 3}

8 ELIMINACIÓN DE PARENTESIS	1: Cuando el signo (+) antecede el paréntesis no interviene en la operación.  + (a – 2b) = a – 2b
	2: Cuando el signo (–) antecede el paréntesis si interviene en la operación.
3: Presencia de paréntesis dentro del paréntesis. Estas expresiones se resuelven de adentro hacia fuera.   Ejemplo: – {8x – [x – 4(3 – x) + 1]}  = – {8x – [x – 12+ 4x + 1]}  = – {8x – [ – 11+ 5x]}  = – {8x + 11– 5x}  = – 8x - 11 + 5x = -3x - 11

9 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Consiste en sumar y/o restar los coeficientes numéricos conservando el factor literal común.  Ejemplo 1: Reducir a)            (3x – 1) + (x + 1) – (2x – 3) + 4  Eliminando los paréntesis resulta:                 3x – 1 + x + 1 – 2x + 3 + 4 Ordenando:                (3x + x – 2x) + (–1 + 3 + 4 + 1) Reduciendo, se obtiene finalmente:                2x + 7 Ejemplo2: Reducir  b)            [2(a – b) – (a + b + 3)] – (2a - 5b + 4) Eliminando paréntesis:                2a – 2b – a – b – 3 – 2a + 5b – 4  Ordenando:                (2a – a – 2a) + (–2b – b + 5b) + (–3 – 4) Reduciendo, se obtiene finalmente:                –a + 2b – 7

1.- PRODUCTOS NOTABLES: Representan casos de interés de multiplicación de polinomios. 

1) Monomio por monomio	a·b = a·b
2) Monomio por polinomio	a(c + d) = ac + ad
3) Polinomio por polinomio	(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd
4) Binomio cuadrado	(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
	(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
5) Suma por diferencia	(a + b)(a – b) = a2 – b2

Ejemplos:

1) Monomio por monomio	a·b = a·b
a) (–4x3y)( –2xy2) = (–4)( –2)( x3x )( yy2 ) = 8x4y3 b) (ab)(4a2b2)( –5a3b4) = 4(–5)( aa2a3 )( bb2b4 ) = –20a6b7

2) Monomio por polinomio	a(c + d) = ac + ad
a) 3x(5 – x) = 3x(5) – 3x(x) = 15x – 3x2 b) –2(a – b) = –2a + (–2)( –b) = –2a + 2b

3) Polinomio por polinomio	(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

Ejemplos:
a) (x – 1)(x + 5) = x² + 5x – x – 5
                           = x² + 4x – 5
b) (2a + b)(3a – b) = 6a² – 2ab + 3ab – b²
                                = 6a² + ab – b²
c) (p + 2)(3p + 4) = 3p² + 4p + 6p + 8
                              = 3p² + 10p + 8

4) Binomio cuadrado	(a + b)2 , (a – b)2
(a – b)2 = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2

Ejemplos:
a)  (x + 3)² = x² + 2(3x) + 3² = x² + 6x + 9
b)  (x – 3)² = x² – 2(3x) + 3² = x² – 6x + 9
c)  (2a + b)² = (2a)² + 2(2a)b + b² = 4a² + 4ab + b²
d)  (3a – 5b)² = (3a)² – 2(3a)(5b) + (–5b)² = 9a² – 30ab + 25b²  

5) Suma por diferencia	(a + b)(a – b) = a2 – b2

Ejemplos:
a) (x – 2)(x + 2) = x² – 2² = x² – 4
b)  (2a – 1)(2a + 1) = (2a)² – (1)² = 4a² – 1
c)  (3x – 2y)(3x + 2y) = (3x)² – (2y)² = 9x² – 4y²  

  2.- DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES (Factorización)  

1) Factor común monomio	ac + ad = a(c + d)
2) Trinomio cuadrado perfecto	a2 + 2ab + b2 = (a + b)2   a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
3) Forma an  bn	a2 – b2 = (a + b)(a – b)   a2 + b2 = Irreductible en IR
4) Trinomio cuadrado perfecto	x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejemplos:

1) Factor común monomio

ac + ad = a(c + d)

Factorizar las siguientes expresiones:
a)  6x – 3y = 2(3)x – (3)y = 3(2x – y)
b)  –4xy + 8x = –(4x)y + 2(4x) = 4x(–y + 2)
c)  9a² + 27ab = (9a)a + (9a)3b = 9a(a + 3b)
d)  5x³y – 10x²y² + 15xy³ = (5xy)x² – (5xy)2xy + (5xy)3y²
                                            = 5xy(x² – 2xy + 3y²)

2) Trinomio cuadrado perfecto

a2 2ab + b2 = (ab)2

Ejemplos:
a)  x² + 6x + 9 = x² + 2(3x) +(3)² = (x + 3)²
b)  x² + 8x + 16 = x² + 2(4x) + (4)² = (x + 4)²
c)  x² – 6x + 9 = x² – 2(3x) +(3)² = (x – 3)²
d)  x² – 8x + 16 = x² – 2(4x) + (4)² = (x – 4)²  

3) Forma an  bn

Ejemplos:

TIPO a² – b²
a)  x² – 1 = x² – 1² = (x – 1)(x + 1)
b)  4x² – 16 = (2x)² – 4² = (2x – 4)(2x + 4)  
TIPO a² + b²
a) x² + 1  No se puede factorizar en IR
b) x² + 25  No se puede factorizar en IR
TIPO a³ – b³
a)  x³ – 27 = x³ – 3³ = (x – 3)(x² + 3x + 9)
b)  x³ – 8 = x³ – 2³ = (x – 2)(x² + 2x + 4)  

TIPO a³ + b³
a)  x³ + 1 = x³ + 1³ = (x +1)(x² – x + 1)
b)  x³ + 125 = x³ + 5³ = (x + 5)(x² – 5x + 25)  

4) Trinomio cuadrado perfecto

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejercicios: Factorizar las siguientes expresiones:

Estos ejercicios se desarrollan por Tanteo.
a)  x² – 7x + 6 = x² + (–1 – 6) x + (–1)( –6) = (x – 1)(x – 6)
b)  x² + 9x + 20 = x² + (5 + 4)x + (5)(4) = (x + 5)(x + 4)
c)  x² – x – 2 = x² + (1 – 2)x + (1)( –2) = (x + 1)(x – 2)
d)  x² – 6x + 8 = x² + (–2 – 4)x + (–2)( –4) = (x – 2)(x – 4)