Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
|
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
|
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2
Producto notable
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Expresión algebraica
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Nombre
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(a + b)2
|
=
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a2 + 2ab + b2
|
Binomio al cuadrado
|
(a + b)3
|
=
|
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
|
Binomio al cubo
|
a2 - b2
|
=
|
(a + b) (a - b)
|
Diferencia de cuadrados
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a3 - b3
|
=
|
(a - b) (a2 + b2 + ab)
|
Diferencia de cubos
|
a3 + b3
|
=
|
(a + b) (a2 + b2 - ab)
|
Suma de cubos
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a4 - b4
|
=
|
(a + b) (a - b) (a2 + b2)
|
Diferencia cuarta
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(a + b + c)2
|
=
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a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
|
Trinomio al cuadrado
|
Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2
± 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2
+ 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
(2x − 3)2 = (2x)2
− 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
(a + b) · (a − b) = a2
− b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2
− 52 = 4x2− 25
Binomio al cubo
(a ± b)3 = a3
± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
(x + 3)3 = x 3
+ 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9 x2
+ 27 x + 27
(2x - 3)3 = (2x)3
- 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=
= 8x 3 - 36 x2
+ 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2
+ b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2
=
= (x2)2
+ (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2
· 1 + 2 · (-x) · 1=
= x4 + x2
+ 1 - 2x3 + 2x2 - 2x=
= x4- 2x3
+ 3x2 - 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3
= (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x −
3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que
tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x +
2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
Ejercicios resueltos de
productos notables
1 Desarrolla los binomios al
cuadrado.
1(x + 5)2 =
= x2 + 2 · x · 5
+ 52 =
= x 2 + 10 x +
25
2(2x - 5)2 =
= (2x)2 - 2 · 2x
·5 + 52 =
= 4x2 - 20 x +
25
2(2x - 5)2 =
= (2x)2 - 2 · 2x
·5 + 52 =
= 4x2 - 20 x +
25
4
2Desarrolla los binomios al
cubo.
1 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2
·3 + 3 · 2x· 32 - 33=
= 8x 3 - 36 x2
+ 54 x - 27
2(x + 2)3 = x 3 + 3 · x2
·2 + 3 · x· 2 2 + 23 =
= x3 + 6 x2
+ 12 x + 8
3(3x - 2)3 = (3 x)3 − 3 · (3x)2
·2 + 3 · 3x· 2 2 − 23 =
=27x 3 − 54 x2
+ 36 x − 8
4(2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 ·(2x)2
·5 + 3 · 2x· 52 + 5 3 =
= 8x3 + 60 x2
+ 150 x + 125
3
Desarrolla las suma
por diferencias
1(3x - 2) · (3x + 2) =
= (3x)2 − 22
=
= 9x2 − 4
2(x + 5) · (x − 5) =
= x2 − 25
3(3x - 2) · (3x + 2) =
= (3x)2 − 22
=
= 9x4 − 4
4(3x - 5) · (3x - 5) =
= (3x) 2 − 52
=
= 9x 2 − 25
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