GEOMETRICA

                                CÍRCULOS Y CIRCUNFERENCIAS

Es el lugar geométrico de todos los puntos que conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia.

ELEMENTOS DE UN CÍRCULO

ÁNGULOS INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA
	Todo ángulo inscrito () es igual a la mitad del ángulo del centro, () si el arco () comprendido entre ellos es común.
	No importa la ubicación del ángulo inscrito. Todos son iguales si el arco es común.
	Cuando el arco  coincide con el diámetro de la circunferencia, el ángulo del centro AOB es 180°. Luego el ángulo inscrito es 90°. Teorema : Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.
	Si los arcos son iguales    =    Los ángulos inscritos también:

	Área (A)	Perímetro (P)
Circunferencia	No tiene área	(R: radio)
Círculo		(R: radio)

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
	en grados sexagesimales  : ángulo del centro

ARCO
Arco (a) : Representa una fracción del perímetro.
	en grados sexagesimales  : ángulo del centro

 

CUADRILATEROS

Cuadrilátero es un tipo de polígono (o figura plana cerrada) que tiene cuatro lados.

Clasificación de cuadriláteros:

Paralelógramos

Trapecios

Trapezoides

Vértices : A, B, C, D Lados : a, b, c, d  Ángulos :    Diagonales : e, f

CLASIFICACIÓN PARALELOGRAMOS	TIPOS	FIGURA
Dos pares de lados paralelos (a y c) (b y d)	Cuadrado
	Rectangulo
	Rombo
	Romboide

CLASIFICACIÓN TRAPECIOS	TIPOS	FIGURA
Un par de lados paralelos (a y d)	Trapecio escaleno:   Distintos medidas en los lados no paralelos (bc)
	Trapecio isoceles: Igual medida en los lados no paralelos (b = c)
	Trapecio Trangular:Un lado no paralelo perpendicular a la base

CLASIFICACIÓN TRAPESOIDE	TIPOS	FIGURA
Sin lados paralelos	Trapezoide asimétrico: Cuatro lados desiguales
	Trapezoide: (deltoide) Posee dos pares de lados iguales pero no paralelos.

CUADRADO	PARALELÓGRAMO
e  f (diagonales del cuadrado) e = f = a Las diagonales son bisectrices. Los cuatro triángulos internos son rectángulos isósceles y tienen igual área y perímetro (iguales) area y perimerto

RECTÁNGULO	PARALELÓGRAMO
e no es perpendicular con f e = f =  Las diagonales no son bisectrices. Posee dos pares de triángulos iguales. area y perimetro

ROMBO	PARALELÓGRAMO
e  f  e  f  Las diagonales son bisectrices Los cuatro triángulos internos son iguales en área y perímetro  area y perimetro

ROMBOIDE	PARALELÓGRAMO
e no es perpendicular con f e  f  Las diagonales no son bisectrices. Posee dos pares de triángulos iguales. TIENE DOS PARES DE LADOS CONSECUTIVOS IGUALES. area y perimetro

TRAPECIO ISÓSCELES
e no es perpendicular con f e = f  Las diagonales no son bisectrices. AE = EB, ED = EC, EG = 2EF El trazo FG (perpendicular a las bases divide a cada base en la mitad) area y perimetro

TRAPECIO RECTÁNGULO
e  f  Las diagonales no son bisectrices ni perpendiculares. area y  perimetro

TRAPEZOIDES	Cuadriláteros
No posee paralelismo.  Tiene dos diagonales. La suma de los ángulos internos es 360°

FIGURA	PERÍMETRO [u]	ÁREA [u2]
cuadrado	P = 4 · a	A = a2
rectángulo	P = 2 · (a + b)	A = a · b
rombo	P = 4 · a	e, f: diagonales
romboide	P = 2 · (a + b)	A = a · h
trapecio	P = a + b + c + d

POLIGONOS

IRREGULARES	REGULARES
Sus lados son distintos o ángulos internos distintos.	Sus lados son iguales y ángulos internos iguales.

NÚMERO DE LADOS	NOMBRE
3	Triángulo
4	Cuadrilátero
5	Pentágono
6	Hexágono
7	Heptágono
8	Octágono
9	Nonágono
10	Decágono

DIAGONALES: Para cualquier polígono, la fórmula para hallar la cantidad de diagonales que posee es:

  Ejemplo:

                    Determinar la cantidad de diagonales que posee un polígono de 28 lados.

                    En este caso n = 28, luego

 

                    Un polígono de 28 lados posee 350 diagonales.

ÁNGULOS INTERNOS: Sólo para polígonos regulares, la fórmula para hallar la medida de cada ángulo interno es:

    Suma de ángulos internos: Para cualquier polígono la suma de sus ángulos internos es:  

180(n – 2)

NOTA: La fórmula anteriormente entregada no necesita la hipótesis de polígono regular.

                             

                          TRIANGULOS

DEFINICIONES
	Triángulo es un tipo de polígono (o figura plana y cerrada) que tiene tres lados.
El triángulo ilustrado en la figura indica:    Triángulo ABC       : ABC Lados                     :  Ángulos                  :

ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO
ELEMENTOS PRIMARIOS	- Vértice : A , B , C - Lados : a , b , c  - Ángulos :
ELEMENTOS SECUNDARIOS	- Altura : ha , hb , hc - Simetral : Sa , Sb , Sc  - Mediana : ma , mb , mc  - Bisectriz : ba , bb , bc  - Transversal de gravedad : ta , tb , tc

PROPIEDADES DE SUS LADOS: a, b, c
La suma de dos de sus lados debe ser mayor que el tercero.	a + b > c y a + c > b y b + c > a
La resta de dos de sus lados debe ser menor que el tercero.	a – b < c y a – c < b y b – c < a

Ejemplo:

            Es posible construir un triángulo disponiendo de los lados   a = 10 [u], b = 5 [u] y c = 2 [u]

Solución:

            Utilizando cualquiera de las propiedades ya sea de la suma o resta es posible determinar si se puede construir un triángulo.

            Seleccionando la propiedad de la suma tenemos, para los datos del problema:

Proposición	a = 10 , b = 5 , c =2
a + b > c   a + c > b   b +c > a	10 + 5 > 2 , Verdadero   10 + 2 > 5 , Verdadero    5 + 2 > 10 , Falso

        De la tabla se deduce que existe una condición que no se cumple.

        Para que se pueda construir un triángulo todas las proposiciones deben ser verdaderas.

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS
	ÁNGULOS INTERNOS:
	La suma de los ángulos internos suman 180°.
ÁNGULOS EXTERNOS:	Un triángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos adyacentes.
La suma de los ángulos externos suman 360°.

Ejemplo: De la figura se tiene que ACD = 120°, CBA = 40°. Determinar los ángulos 

	Cálculo de  :   + 40° + 120° = 180°
	b) Cálculo de :  40° +  = 180° (= 140°) 120° +  = 180° ( = 60°)
	c) Cálculo de : (De ec. 2)     + 140° + 60° = 360°

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Clasificación según sus lados (a, b, c)	Equilátero	Todos los lados iguales	a = b = c
	Isósceles	Un lado distinto	Ejemplos:   a = b c
	Escaleno	Todos los lados desiguales
Clasificación según sus ángulos interiores ()	Acutángulo	Tres ángulos agudos	< 90°
	Rectángulo	Un ángulo recto	Ejemplos:    = 90°
	Obtusángulo	Un ángulo obtuso	Ejemplos:    > 90°

ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIÁNGULO

ALTURAS (h)
	Un triángulo posee tres alturas ha , hb , hc.           La altura se obtiene al trazar una línea perpendicular desde el vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste.           Las alturas concurren a un mismo punto llamado ortocentro (H)
Acutángulo  H (ortocentro se ubica dentro del )
Rectángulo  H (ortocentro se ubica en vértice C)
obtusángulo  H (ortocentro ubicado fuera del )

TRANSVERSALES DE GRAVEDAD (t)
	Una transversal de gravedad une un vértice con el punto medio del lado opuesto.     Concurren a un mismo punto, denominadocentro de gravedad del triángulo (T)     T se ubica siempre dentro del triángulo.     En la transversal de gravedad se cumple:

Bisectriz (b)
		Las bisectrices dividen cada ángulo interno por la mitad.    Todas las bisectrices concurren a un mismo punto que es el centro de una circunferencia inscrita.     Este punto se denomina inscentro.(P)

Simetral (S)
		Las simetrales son las perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados.    Las tres simetrales concurren a un punto que es el centro de la circunferencia circunscrita. A este punto se le denomina circunscentro.

Mediana
		Las medianas unen los puntos medios de los lados.         Las áreas de cada triángulo parcial obtenido al trazar las medianas, son iguales y cuatro veces menor que el área del ABC.  Área(AFD=FBE=DFE=DEC)     Cada mediana es paralela al lado opuesto.     Cada mediana mide la mitad de su lado opuesto, o cada lado mide el doble que su mediana paralela.     2

ÁREAS EN TRIÁNGULOS
A : Área ; alturas : ha, hb, hc ; lados : a, b, c
	Fórmula general

Ejemplo 1: Calcular el área de un triángulo sabiendo que la altura en B es igual a 20 metros y la base  es 10 metros.
 

Solución:      No se puede calcular el área con la información existente debido a que la altura (hb = 20 metros) y la base (c =  = 10 metros) conocida no son compatibles para el cálculo del área.

Ejemplo 2: Calcular el área de un ABC cuya altura en es igual a 3 metros y de base  = 5 metros. 

Solución:   Reemplazando:

PERÍMETRO EN TRIÁNGULOS
	P : Perímetro es la suma de todos sus lados.       P = a + b + c

ÁREA Y PERÍMETRO EN TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS
	Área (A) , altura (h) , Perímetro (P)        P = 3a
En un  equilátero coinciden las: alturas, bisectrices, transversales de gravedad y simetrales.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO
		Área : A Catetos : a y b  Hipotenusa : c  Perímetro : P
Área de un triángulo rectángulo	La fórmula de cálculo de área  también se puede expresar como:
Teorema de Pitágoras	Este teorema relaciona todos los lados de un triángulo rectángulo.    a2 + b2 = c2
Teorema de Euclides	I		a2 = cq   b2 = cp
	II		hc2 = pq
La altura (hc) también puede escribirse como: hc =

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE INTERÉS

TEOREMA de Thales
		Si un ángulo es cortado por paralelas, se originan segmentos proporcionales.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados respectivamente proporcionados.

 VOLUMEN (cuadro resumen)

Nombre	Dibujo	Desarrollo	Área	Volumen
Cubo e Hexaedro			A = 6a2	V = a3
Paralelopipedo u ortoedro			A = 2(ab+ac+bc)	V = abc
Prisma			AT = 2AB + AL	V = ABH
Cilindro
Piramide			AT = AB + AL
Cono
Tronco de pirámide			AT = AB1 + AB2 + AL
Tronco de cono
esfera